| Title: | О некоторых свойствах решений нелинейных систем дифференциальных уравнений |
| Other Titles: | On Some Properties of Solutions of Nonlinear Systems of Differential Equations |
| Authors: | Цегельник, В. В. |
| Keywords: | публикации ученых;дифференциальные уравнения;свойство Пенлеве;преобразование Беклунда |
| Issue Date: | 2022 |
| Publisher: | Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» |
| Citation: | Цегельник, В. В. О некоторых свойствах решений нелинейных систем дифференциальных уравнений = On Some Properties of Solutions of Nonlinear Systems of Differential Equations / Цегельник В. В. // Вестник национального исследовательского ядерного университета “МИФИ”. – 2022. – Т. 11, № 2. – С. 117–121. – DOI : 10.56304/S2304487X22020110. |
| Abstract: | Объектом исследования являются: неавтономная нелинейная система двух дифференциальных
уравнений первого порядка с произвольным параметром и автономная система двух нелинейных
дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью производной неизвестных функций, содержащая произвольные параметры и ненулевые параметры удовлетворяющие условиям. Цель исследования: определение условий на параметры указанных систем, при которых их общие решения не имеют подвижных критических особых точек, т.е. обладают свойством Пенлеве (являются системами Пенлеве-типа). Доказано, что неавтономная система при любом значении параметра является системой Пенлеве-типа и по одной из компонент она эквивалентна дифференциальному уравнению второго порядка, полученному Н.А. Кудряшовым. Решение данного уравнения выражается через решение второго уравнения Пенлеве. Для указанного уравнения построены прямое и обратное преобразования Беклунда. Характерной особенностью автономной системы является то, что по каждой из компонент она эквивалентна двум нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка, которые исследуются на наличие у них свойства Пенлеве в зависимости от значений параметров. Доказано, что при автономная система является системой Пенлеве-типа: она эквивалентна дифференциальным уравнениям второго порядка, которые либо интегрируются в эллиптических функциях, либо допускают линеаризацию. В остальных двух случаях она обладает данным свойством, если a = 0. |
| Alternative abstract: | The non-autonomous nonlinear system of two first order differential equations with arbitrary parameter and the autonomous system of two nonlinear differential equations with quadratic nonlinearity of derivation of unknown functions, containing arbitrary parameters a, α, β, and γ and nonzero parameters b and c satisfying the conditions (b2 – c2)(b2 – 4c2)(4b2 – c2) = 0 are studied. The conditions on the parameters of the mentioned systems have been determined under which their general solutions have no moving special critical points, i.e., have the Painlevé property (the systems are Painlevé systems). It is proved that the nonautonomous system for any value of the parameter l is a Painlevé type system and is equivalent in one of its components to the second order differential equation obtained by N.A. Kudryashov. The solution of this equation is expressed in terms of the solution of the second Painlevé equation. Direct and inverse Bäcklund transformations have been constructed for this equation. Each component of the autonomous system is equivalent to two second order nonlinear differential equations. It is examined whether these equations have the Painlevé property depending on parameter values. It is proved that the autonomous system with the parameters b2 = c2 ≠ 0 is a Painlevé type system: it is equivalent to second-order differential equations, which are either integrated in elliptic functions or admit linearization. In the other two cases, it has this property if a = 0. |
| URI: | https://libeldoc.bsuir.by/handle/123456789/49192 |
| Appears in Collections: | Публикации в зарубежных изданиях
|
