Серия "Интерактивные учебные пособия"

Цифровые фильтры. Диаграмма полюсов и нулей

Описание

Электронное учебное пособие в формате EPUB-3. Версия от 30.05.2017 г. Разработчик - Курочкин А.Е., доцент кафедры  ИРТ БГУИР. Пособие предназначено для студентов факультета радиотехники и электроники, изучающих классические радиоприёмные устройства.

Для корректного отображения формул в MathML и элементов HTML5 рекомендуется персональный компьютер с  ОС Windows и программным ридером  AZARDI.

Цифровые фильтры. Диаграмма полюсов и нулей

Аналоговые фильтры разрабатываются с привлечением преобразования Лапласа, цифровые фильтры разрабатываются с помощью Z-преобразования.

Цель этих преобразований схожа – получить диаграмму полюсов и нулей. Преобразование Лапласа связано с решением дифференциальных уравнений и комплексной p-плоскостью. Соответственно, Z-преобразование имеет дело с разностными уравнениями и комплексной z-плоскостью.

Однако эти методы имеют существенные отличия, а именно: p-плоскость расположена в прямоугольной системе координат, в то время как z-плоскость использует полярную систему координат.

Преобразование Лапласа определяет связь между частотной и временной областями в соответствии с выражением:

X(s)= ∫ −∞ ∞ x(t) e −pt dt .

Заменяя комплексную величину p её эквивалентным выражением p=σ+jω, получим:

X(σ,ω)= ∫ −∞ ∞ x(t) e −σt e −jωt dt .

Преобразование Лапласа может быть изменено на Z-преобразование за три шага.

В начале происходит замена непрерывного сигнала дискретным во времени:

X(σ,ω)= ∑ n=−∞ ∞ x(n) e −σnT ⋅ e −jωnT .

На втором шаге переписываем показательный член:

e −σnT = r −n ,

что позволяет записать

X(r,ωT)= ∑ n=-∞ ∞ x(n) r −n e −jωnT = ∑ n=−∞ ∞ x(n) ( r e jωT ) −n .

Третий шаг преобразования после введения комплексной величины

z=r e jωT

даёт следующую стандартную форму записи для Z-преобразования:

X(z)= ∑ n=−∞ ∞ x(n) z −n .

Рис. 1

Рис. 1 поясняет различие между p-плоскостью преобразования Лапласа и z-плоскостью Z-преобразования. Положение на p-плоскости определяется в прямоугольной системе координат двумя параметрами: σ – экспоненциальной составляющей по горизонтальной оси, и ω - частотой по вертикальной оси. В z-области положение на плоскости определяется в полярной системе координат переменными r - расстоянием от начала координат (экспоненциальная составляющая) и ω - угловым расстоянием от положительной горизонтальной оси. Вертикальные линии на p-плоскости, соответствуют окружностям на z-плоскости.

Вертикальные линии в левой p-полуплоскости соответствуют окружностям внутри круга единичного радиуса на z-плоскости. Аналогично, вертикальные линии в правой p-полуплоскости соответствуют окружностям на внешней стороне единичного круга z-плоскости.

Непрерывная система неустойчива, когда полюса занимают правую половину p-плоскости, так как экспоненциальная компонента неограниченно возрастает при σ>0. Следовательно, дискретная система неустойчива, когда полюса находятся вне единичного круга на z-плоскости.

В непрерывных системах при анализе АЧХ частота принимает любые значения между нулём (постоянный ток) и бесконечностью вдоль положительной оси. При этом в p-плоскости значения АЧХ определяются при σ=0 вдоль положительной вертикальной оси. Для дискретных систем частота может иметь значения между нулем и половиной частоты выборки. Повторяющаяся АЧХ дискретной системы определяется в z-плоскости вдоль единичной окружности против часовой стрелки с периодом 2π.

В общем случае передаточная функция соответствует выражению

H(z)= a o + a 1 z −1 + a 2 z −2 … 1− b 1 z −1 − b 2 z −2 …

С учётом корней полиномов числителя и знаменателя передаточную функцию дискретного фильтра можно записать в следующем виде:

H(z)= (z− z 1 )(z− z 2 )(z− z 3 )… (z− p 1 )(z− p 2 )(z− p 2 )…

Цифровой фильтр (ЦФ) представляет собой вычислительное устройство, в котором над кодовыми словами производятся определённые математические операции (запоминание, сложение, умножение, задержка во времени), соответствующие заданному алгоритму. В результате этих операций на выходе ЦФ получаются новые кодовые слова, соответствующие профильтрованному сигналу. Синтез ЦФ проводится по заданной передаточной характеристике на основе типовых звеньев: элементов задержки (Z⁻¹), сумматоров (Σ), масштабирующих звеньев, перемножителей и линий передачи.

Существуют фильтры, на входы которых подаются не кодированные отсчёты, а только дискретизированные, над которыми и совершаются математические операции. Такие фильтры называется дискретными.

Достоинством цифрового фильтра является отсутствие реактивных элементов, стабильность характеристики, удобство и простота изменения АЧХ и ФЧХ, возможность построения неминимально-фазовых цепей. Для цифрового фильтра все изменения связаны с перепрограммированием ЭВМ, в которой осуществляются операции над входными отсчётами с целью получения соответствующих отсчётов выходного сигнала.

Обычно для преобразования из p-области в z-область и обратно применяются следующие подстановки:

z= 2+pT 2−pT , p= 2(z−1) T(z+1) .

При этом осуществляется преобразование бесконечной частотной оси p-области в частотный диапазон от 0 до π (от 0 до 0,5 частоты дискретизации) в z-области и наоборот.

Формирование АЧХ цепи на основе диаграммы полюсов и нулей на z-плоскости производится так же, как и в случае p-плоскости, что демонстрирует представленный ниже интерактивный скрипт.

Результат измерения: ω[рад/сек], K -

ω[рад]=0 θmax[град]=930

Выберите количество нулей

0 1 2

Выберите количество полюсов

1 2 4

Передаточная функция

Z²+ Z+

Z⁴+ Z³+ Z²+ Z+

Информация о полюсах функции

p1= +j Qp1=
p2= -j Qp2=
p3= +j Qp3=
p4= -j Qp4=

Информация о нулях функции

z1= +j
z2= -j

После выбора количества полюсов и нулей следует нажать кнопку "Расчёт". При нажатии левой кнопки мыши над выбранным полюсом или нулём объект выделяется красным цветом и доступен для перемещения по диаграмме. Параметры диаграммы автоматически рассчитываются и рисуется АЧХ, соответствующая текущему расположению полюсов и нулей. Ползунковый элемент управления "ω[рад]" предназначен для формирования угла поворота вектора текущей круговой частоты в полярной системе координат. Ползунковый элемент управления "θmax[град]" предназначен для формирования максимального значения угла поворота вектора круговой частоты. Текущее значение круговой частоты и результат расчёта коэффициента передачи отображаются в поле "Результат измерения: ω[рад/сек], K".