Серия "Интерактивные учебные пособия"

Синтез лестничных трансформирующих фильтров нижних частот высокого порядка

Описание

Электронное учебное пособие в формате EPUB-3. Версия от 30.05.2018 г. Разработчик - Курочкин А.Е., доцент кафедры ИРТ БГУИР. Пособие предназначено для студентов факультета радиотехники и электроники, изучающих классические радиоприёмные устройства.

Для корректного отображения формул в MathML и элементов HTML5 рекомендуется персональный компьютер с ОС Windows и программным ридером AZARDI.

УДК 621.372.512

СИНТЕЗ ЛЕСТНИЧНЫХ ТРАНСФОРМИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

А.Е. КУРОЧКИН

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, Республика Беларусь

Аннотация

Рассмотрен синтез трансформирующих фильтров высокого порядка. Разработана компьютерная программа на языке JavaScript, позволяющая производить синтез и расчёт элементов трансформирующих фильтров нижних частот Чебышёва высоких порядков для произвольных сопротивлений источника сигнала и нагрузки. Структура фильтра соответствует первой канонической форме Кауэра в виде лестничной цепи. Для повышения точности расчётов применена математики произвольной точности.

Ключевые слова: согласование сопротивлений, фильтр нижних частот, транспонирование частоты, аппроксимация, коэффициент отражения, полином Чебышёва первого рода, метод Кауэра, математика произвольной точности.

Abstract

The synthesis of high order transforming filters is discussed. A computer program in JavaScript language is developed, which allows to synthesize and calculate elements of transforming matching filters of low frequencies of Chebyshev of high orders for arbitrary resistances of signal source and load. The structure of the filter corresponds to the first canonical form of Cauer in the form of the ladder circuit. To improve the accuracy of calculations mathematics оf multiple precision is used.

Keywords: impedance matching, transforming low pass filter, transposing of frequency, approximation, reflection coefficient, Chebyshev polynomials of the first kind, Cauer synthesis procedure, mathematics of arbitrary accuracy.

Введение

На рис. 1, представлена лестничная структура трансформирующего фильтра нижних частот (ФНЧ) с нормированными параметрами для случая Rc<Rн, где Rc и Rн – сопротивления источника сигнала и нагрузки, соответственно. На рисунке параметр go соответствует нормированной проводимости источника go=1/(Rc/Rc)=1, а gn+1 – нормированному сопротивлению нагрузки gn+1=1/r=1/(Rн/Rc). Здесь n – порядок фильтра. При Rc > Rн в качестве сопротивления источника принимается Rн, а сопротивления нагрузки − Rс. Синтезу трансформирующих ФНЧ именно высокого порядка для согласования неравных нагрузок в технической литературе уделяется мало внимания.

Рис. 1. Реализация лестничного трансформирующего ФНЧ

Казалось бы, что проще - существуют таблицы с нормированными параметрами элементов согласующих фильтров до 10 порядка, например в [1], для относительных полос от 0,1 до 1 с шагом 0,1 и дискретных значений коэффициентов трансформации до 50 с шагом 0,5; 1, 5, 10. Однако, во-первых, заметим, что максимальный порядок ограничен числом десять. Во-вторых, дискретность исходных параметров не позволяет считать методику универсальной. В-третьих, табулированные данные не всегда удовлетворяют требуемой погрешности расчёта. Да и сам автор [1] обращает внимание на рост погрешности расчёта для фильтров высших порядков.

Проверим, так ли это! В табл. 1 представлены параметры gk из [1] , где k – номер элемента фильтра от k = 0 до k = 11, характеризующие нормированные значения индуктивности последовательных или ёмкости параллельных ветвей согласующего фильтра 10-го порядка для r = Rс/Rн = 50 в нормированной полосе W = 0,3.

Таблица 1 - Нормированные параметры фильтра из [1]

Нормированные параметры gk

g₀
g₁
g₂
g₃
g₄
g₅
g₆
g₇
g₈
g₉
g₁₀
g₁₁

1
0.789986
0.846863
2.59137
0.504294
7.89711
0.157942
25.2147
0.051827
42.34315
0.0157997
50

На рис. 2-3 представлены результаты проверочного моделирования фильтра для рабочей полосы в программе Filter Solutions 8.0 [9].

Рис. 2 - ФНЧ с нормированными параметрами из [1] в программе Filter Solutions

Рис. 3 - Результат моделирования АЧХ фильтра по данным из [1] в программе Filter Solutions

Результат проверки: график не соответствует равноволновой аппроксимации по Чебышёву, погрешности слишком велики. Многократное моделирование подтвердило, что табулированные данные в [1] для фильтров, начиная с 6-го порядка, не следует считать достоверными! Количество достоверных знаков после десятичной запятой уменьшается до двух!

Синтезировать фильтр без таблиц? Пожалуйста! В [2] приводятся аналитические выражения, позволяющие производить синтез фильтров для произвольных значений нагрузок при заданном значении максимального коэффициента отражения. Однако синтез ограничен цепями не выше четвёртого порядка, а окончательная рабочая полоса согласования определяется только после расчёта численным методом в среде MathCAD.

Идём дальше! В [3] и [4] приводятся аналитические выражения для расчёта согласующих фильтров уже до 10 (!) порядка без оценки погрешности для структур высших порядков. В [4] даже приводятся листинги компьютерных программ на языке Фортран и пример расчёта структуры 16 порядка (не выше!), но в данном случае для инженерного применения требуется наличие версии языка Фортран – Фортран 90. В других статьях по расчёту и реализации фильтров с лестничной структурой методами Кауэра, например в [5], порядок фильтров также ограничен значениями 14-16, но не выше.

Таким образом, поскольку для синтеза фильтров произвольного порядка оперативно воспользоваться готовыми результатами не представляется возможным, возникает актуальная необходимость разработки компьютерной программы, которой можно было бы доверять при разработке реального устройства.

Процедура синтеза квазиполосового ФНЧ

Практическая задача синтеза формулируется просто: для известных Rс и Rн требуется рассчитать значения нормированных параметров g₁,g₂, …, gn−1, gn, обеспечивающие требуемую неравномерность коэффициента отражения в заданной рабочей полосе частот.

В случае неравных нагрузок (r≠1) затухание на нулевой частоте, а, следовательно, и коэффициент отражения, может быть значительным, как показано на рис. 2. В силу этого обстоятельства равноволновую аппроксимацию по Чебышёву можно обеспечить только в некоторой заданной полосе. Характеристика затухания ФНЧ при этом имеет вид, соответствующий полосовому фильтру. Уместно определить такой тип ФНЧ как квазиполосовой ФНЧ, как это сделано в [6].

Рис. 4 - Формирование характеристики затухания квазиполосового ФНЧ

Основными этапами синтеза квазиполосового фильтра являются:

1) выбор исходного фильтра−прототипа;

2) транспонирование частоты;

3) определение полюсов передаточной функции фильтра−прототипа;

4) определение полюсов передаточной функции квазиполосового фильтра;

5) формирование выражения для коэффициента отражения квазиполосового фильтра;

6) формирование выражения для входного сопротивления квазиполосового фильтра;

7) синтез лестничной цепи по методу Кауэра;

8) денормирование значений элементов лестничной цепи.

Передаточная функция ФНЧ по мощности, используемого в качестве прототипа описывается выражением

K p =1/[ 1+ ε 2 ⋅ T n 2 (Ω) ],  (1)

где ε – коэффициент неравномерности в полосе пропускания, Tn – многочлен Чебышёва первого рода n−го порядка, Ω – нормированная круговая частота.

Для синтеза квазиполосового фильтра следует осуществить транспонирование частоты подстановкой [6]

Ω= ω 2 − ω o 2 ( ω b − ω a )⋅ ω ср = | ω 2 − ω o 2 | A ,  (2)

где ωa – нижняя граница полосы пропускания, ωb – верхняя граница полосы пропускания, ω – текущая круговая частота,

ω o 2 =( ω b 2 + ω a 2 )/2,  (3)

ω ср =( ω a + ω b )/2.  (4)

Все значения частот нормируются относительно средней частоты полосы пропускания ωнорм=ωср, которая принимается равной единице.

Для обозначения нормированных частот далее используется диакритический знак Circumflex: «ˆ»: p ^ =j ω ^ =j( ω/ ω норм ) .

В [3] и [4] предлагается нормирование частот осуществлять относительно частоты ωнорм =ωо=1.

Максимальное значение нормированной полосы фильтра−прототипа при нормировании относительно средней частоты полосы пропускания определяется при ωa=0 и из (4) равно Δ ω ^ = ω ^ b − ω ^ a = ω ^ b =2 .

При нормировании частот относительно ωo=1 максимальное значение нормированной полосы фильтра−прототипа следует из (3) и равно Δ ω ^ = ω ^ b − ω ^ a = ω ^ b = 2 .

Учитывая выражения (3) и (4) для ωo и ωср, можно показать, что

Ω=2⋅ ω ^ 2 − ω ^ o 2 ω ^ b 2 − ω ^ a 2 =2⋅ ω ^ 2 − ω ^ o 2 2 ω ^ o 2 −2 ω ^ a 2 =− ω ^ o 2 − ω ^ 2 ω ^ o 2 − ω ^ a 2  (5)

или

Ω=2⋅ ω ^ 2 − ω ^ o 2 ω ^ b 2 − ω ^ a 2 =2⋅ ω ^ 2 − ω ^ o 2 2 ω ^ b 2 −2 ω ^ o 2 = ω ^ 2 − ω ^ o 2 ω ^ b 2 − ω ^ o 2 .  (6)

Из выражений видно, что граничным частотам полосы пропускания ω ^ a и ω ^ b соответствуют значения Ω=±1, а значение ω ^ = ω ^ o соответствует значению Ω=0, т.е. начальной (нулевой) частоте фильтра−прототипа.

Коэффициент передачи на нулевой частоте определяется, исходя из заданных значений сопротивлений источника сигнала Rс и нагрузки Rн:

K po =1/[ 1+ ε 2 ⋅ T n 2 ( ω ^ =0) ]= 1/[ 1+ ε 2 ⋅ T n 2 ( Ω=− ω ^ b 2 + ω ^ a 2 ω ^ b 2 − ω ^ a 2 ) ]= 4 R с R н ( R с + R н ) 2 ,  (7)

откуда следует, что квадрат коэффициента неравномерности передачи прототипа в рабочей полосе должен быть равен

ε 2 = [ ( R с − R н ) 2 4 R с R н ] / T n 2 ( Ω=− ω ^ b 2 + ω ^ a 2 ω ^ b 2 − ω ^ a 2 ) .  (8)

Из (8) видно, что коэффициент неравномерности ε зависит как от сопротивлений нагрузок, так и от значения аппроксимирующего многочлена Чебышёва.

Полиномы Чебышёва первого рода степени n в диапазоне значений от Ω=−1 до Ω=+1 определяются рекуррентной тригонометрической формой записи выражения:

T n ( Ω)=cos⁡[n⋅arccos⁡( Ω)]  (9)

и вне полосы через гиперболические функции

T n ( Ω)=ch[n⋅arch( Ω)].  (10)

Функция гиперболического ареа−косинуса не определена для отрицательных значений Ω, которые появляются в (5) или в (6) при транспонировании частоты в полосах задержания квазиполосового фильтра для F<Fa ( ω ^ < ω ^ a ) и F>Fb ( ω ^ > ω ^ b ). Поэтому в (2) для решения проблемы следует предусмотреть знак модуля разности ( ω 2 − ω o 2 ) .

Характеристика затухания квазиполосового фильтра, т.е. знаменатель квадрата модуля передаточной функции для полосы задержания принимает вид:

L=1+ ε 2 ch 2 [ n 2 ⋅arch( ω ^ o 2 − ω ^ 2 ω ^ o 2 − ω ^ a 2 ) ],  (11)

а для полосы пропускания:

L=1+ ε 2 cos 2 [ n 2 ⋅arccos( ω ^ o 2 − ω ^ 2 ω ^ o 2 − ω ^ a 2 ) ].  (12)

Полюсы передаточной функции фильтра−прототипа Чебышёва P ^ k =Re⁡( P ^ k )+jIm⁡( P ^ k ) для k=1,2,…,n определяются из уравнения 1+ ε 2 T n 2 ( Ω )=0 с учётом замены Ω=( p ^ /j) [4]:

Re( P ^ k )=±sin⁡( π⋅ 2k−1 2n )⋅sh( 1 n ⋅arsh[ 1 ε ] );  (13)

Im( P ^ k )=cos⁡( π⋅ 2k−1 2n )⋅ch( 1 n ⋅arsh[ 1 ε ] ).  (14)

Для полюсов передаточной функции квазиполосового фильтра p ^ k = σ ^ k +j ω ^ k , обозначая A=( ω ^ b − ω ^ a ), можно записать:

Re( P ^ k )+jIm( P ^ k )=−j ( σ ^ k +j ω ^ k ) 2 + ω ^ o 2 A ;  (15)

откуда получаем:

( σ ^ k +j ω ^ k )= −[A⋅Im( P ^ k )+ ω ^ o 2 ]+jA⋅Re⁡( P ^ k ) = x+j⋅y .

Используя формулу Муавра, окончательно определяем

( σ ^ k +j ω ^ k )= ρ [ cos⁡( φ+2 π(k−1) 2 )+jsin⁡( φ+2 π(k−1) 2 ) ],  (16)

где

ρ= x 2 + y 2 = [A⋅Im( P ^ k )+ ω ^ o 2 ] 2 + [A⋅Re⁡( P ^ k )] 2 ,  (17)

φ= π+arctg[ y x ].  (18)

В [1] на с. 943 в формуле (25) допущена опечатка. Вместо (A⋅ σ bk ″ ) 2 напечатано A ( σ bk ″ ) 2 .

При расчёте следует обратить внимание на неоднозначность определения угла φ:

1) если x>0 (1−я и 4−я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле φ=arctg(y/x);

2) если x<0, y>0 (2−я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле φ=π+arctg(y/x);

3) если x<0, y<0 (3−я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле φ=−π+arctg(y/x).

Таким образом (18) соответствует 2−й координатной четверти, что не всегда выполняется. В языке JavaScript предусмотрена функция Math.atan2(y,x), анализирующая знаки x и y.

Выражения, связывающие номинальный коэффициент передачи мощности Kp, коэффициент отражения Γвых и нормированное выходное сопротивление цепи Z ^ вых = Z вых / R н , имеют следующий вид:

K p =1− | Γ вых | 2  (19)

Γ вых =( Z вых − R н )/( Z вых + R н )=( Z ^ вых −1 )/( Z ^ вых +1 ),  (20)

откуда с учётом (1) и (2) следует

| Γ вых | 2 =1− K p = [ ε 2 ⋅ T n 2 ( Ω= | ω ^ 2 − ω ^ o 2 | ω ^ b − ω ^ a ) ] / [ 1+ ε 2 ⋅ T n 2 ( Ω= | ω ^ 2 − ω ^ o 2 | ω ^ b − ω ^ a ) ] .  (21)

Нули полинома числителя коэффициента отражения для фильтра−прототипа определяются нулями соответствующего многочлена Чебышёва и рассчитываются в соответствии с выражением

Z ^ k =cos⁡( π⋅ 2k+1 2n ), k=0,1,...,n−1 . (22)

Совершенно очевидно, что нули будут чисто мнимыми и сопряжёнными Z ^ k =±jIm⁡ Z ^ k

После применения подстановки (2) нули полинома числителя коэффициента отражения для квазиполосового фильтра получаем в соответствии с выражением:

j ω ^ zk =j A⋅Im( Z ^ k )+ ω ^ o 2 .

Для составления полинома знаменателя коэффициента отражения используем найденные ранее полюсы передаточной функции (16), выделяя только те, что расположены в левой полуплоскости (для k=2). Для упрощения вначале формируем трёхчлены из пар комплексно−сопряжённых полюсов:

[ p − ( Re ⁡ p k + j Im ⁡ p k ) ] ⋅ [ p − ( Re ⁡ p k − j Im ⁡ p k ) ] = = [ ( p − Re ⁡ p k ) − j Im ⁡ p k ] ⋅ [ ( p − Re ⁡ p k ) + j Im ⁡ p k ] = = ( p − Re ⁡ p k ) 2 + ( Im ⁡ p k ) 2 = = p 2 − 2 p ⋅ Re ⁡ p k + [ ( Re ⁡ p k ) 2 + ( Im ⁡ p k ) 2 ] .

Аналогичным образом формируем полином числителя коэффициента отражения, предварительно сформировав соответствующие трёхчлены:

[ p − ( Re ⁡ z k + j Im ⁡ z k ) ] ⋅ [ p − ( Re ⁡ z k − j Im ⁡ z k ) ] = = [ ( p − Re ⁡ z k ) − j Im ⁡ z k ] ⋅ [ ( p − Re ⁡ z k ) + j Im ⁡ z k ] = = ( p − Re ⁡ z k ) 2 + ( Im ⁡ z k ) 2 = = p 2 − 2 p ⋅ Re ⁡ z k + [ ( Re ⁡ z k ) 2 + ( Im ⁡ z k ) 2 ] .

В результате получаем:

Γ вых = ( p ^ − z 1 )( p ^ − z 2 )⋅...⋅( p ^ − z n ) ( p ^ − p 1 )( p ^ − p 2 )⋅...⋅( p ^ − p n ) = = ∏ k=1 n/2 [ p 2 −2p⋅Im⁡ z k + (Re⁡ z k ) 2 + (Im⁡ z k ) 2 ] ∏ k=1 n/2 [ p 2 −2p⋅Re⁡ p k + (Re⁡ p k ) 2 + (Im⁡ p k ) 2 ] =

= a n p ^ n + a n−1 p ^ n−1 +...+ a 1 p ^ + a 0 b n p ^ n + b n−1 p ^ n−1 +...+ b 1 p ^ + b 0 .

Коэффициенты полиномов определяем по правилам перемножения многочленов в соответствии с выражением:

a k = ∑ i=0 k a i b k−i ; k=0,1,2,...,(l+m);  (23)

где l и m степени перемножаемых полиномов, a и b - их коэффициенты.

В (23) значения старших коэффициентов полиномов равны единице, т.е. an=1 и bn=1.

На последнем этапе находим выражение для выходного сопротивления в соответствии с (20):

Z ^ вых = ( 1+ p ^ n + a n−1 p ^ n−1 +...+ a 1 p ^ + a 0 p ^ n + b n−1 p ^ n−1 +...+ b 1 p ^ + b 0 ) ( 1− p ^ n + a n−1 p ^ n−1 +...+ a 1 p ^ + a 0 p ^ n + b n−1 p ^ n−1 +...+ b 1 p ^ + b 0 ) = = 2 p ^ n + p ^ n−1 ( b n−1 + a n−1 )+...+ p ^ ( b 1 + a 1 )+( b 0 + a 0 ) p ^ n−1 ( b n−1 − a n−1 )+...+ p ^ ( b 1 − a 1 )+( b 0 − a 0 ) .  (24)

Синтез двухполюсников методами Кауэра производится путём представления операторной функции выходного сопротивления в виде цепной дроби вида

Z ^ вых ( p ^ )= g 1 p ^ + 1 g 2 p ^ +...+ 1 g n−1 p ^ + 1 g n p ^ + g n+1 = = p ^ L ^ 1 + 1 p ^ C ^ 2 +...+ 1 p ^ L ^ 2k−1 + 1 p ^ C ^ 2k + 1 r , (25)

где L ^ 1 ,    L ^ 3 ,   ...,    L ^ 2k−1 и C ^ 2 ,    C ^ 4 ,   ...,    C ^ 2k − нормированные значения индуктивностей катушек и ёмкостей конденсаторов для k=1,...,n:

L ^ 2k−1 = g 2k−1 , (26)

C ^ 2k = g 2k . (27)

Полученной дроби соответствует первая каноническая схема Кауэра, изображённая на рис. 1. Окончательный расчёт параметров элементов цепи производится путём денормирования с учётом реальных значений сопротивления нагрузки Rн и нормированной частоты фильтра−прототипа:

L 2k−1 = g 2k−1 ⋅ R н 2π f норм ; (28)

C 2k = g 2k ⋅ 1 2π f норм R н . (29)

В качестве языка программирования выбран JavaScript, который наряду с Java и Python находится в тройке самых популярных языков программирования среди европейских разработчиков. В настоящее время ни один современный браузер не обходится без поддержки JavaScript, поэтому дополнительная компьютерная среда для запуска разработанного интерактивного скрипта не потребуется. К тому же язык лёгок в понимании для пользователей, не являющихся программистами, а внесение изменений в предлагаемый код и его отладка с целью улучшения интерактивности не будет требовать особых усилий.

Структурная схема программного модуля, разработанная на основании описанной выше математической модели, представлена на рис. 5.

Рис. 5 - Структурная схема программного модуля

Анализ

Так как вычисления производятся с использованием процесса разложения функции входного сопротивления в виде непрерывной дроби, это приводит к постепенной потере точности в процессе разложения. Основная причина потери точности заключается в том, что при использовании чисел с плавающей запятой в формате double длина мантиссы составляет 52 двоичных разряда, что соответствует 16−ти верным знакам мантиссы после десятичной запятой. Самая опасная операция с точки зрения округления в арифметике с плавающей запятой — это вычитание. При вычитании соизмеримых чисел значимые разряды быстро теряются, а это увеличивает относительную погрешность вычислений. Последний знак мантиссы, как правило, не является точным. Поэтому, как справедливо отмечается в [1], значение для g₁ получается с бóльшей точностью, значение g₂ содержит ошибку от предыдущей итерации плюс ошибку на текущей итерации. В результате значение g₃ и все последующие значения gn получаются с меньшей точностью.

Вторая причина – это точность расчёта на этапе формирования диаграммы полюсов и нулей таких констант как π=3,14159…, e= 2,71828..., натуральные логарифмы ln10= 2,30258… и ln2= 0,693147… и т.д. От точности размещения корней полиномов на диаграмме зависит и точность последующего разложения.

Таким образом, синтез лестничных структур высокого порядка методами представления входных функций в виде цепной дроби ограничен спецификой компьютерного представления данных. Преодолеть эти ограничения можно, используя математику произвольной или многократной точности (multiple precision). Существуют компьютерные математические программы−библиотеки, которые поддерживает числа любой длины и точности. Например, в библиотеках GNU Multiple Precision Arithmetic Library (GMP), BCMath (Mathematical Binary Calculator) и BigNumber все числа чаще всего представляются в виде переменных строкового типа. Над строковыми переменными осуществляются стандартные математические операции суммирования, вычитания, умножения и деления по школьным правилам “в столбик”. По завершении расчётов производится обратное преобразование строк в обычные числа. Плата за применение математики произвольной точности − значительный рост времени расчёта. Решающими в данном случае являются порядок фильтра и длина мантиссы используемых переменных и констант. Следует также отметить, что и построение графиков для коэффициента передачи, коэффициента отражения и входного или выходного сопротивления цепей высших порядков тоже требует применения математики над длинными числами.

Существуют версии BCMath для языка JavaScript (bcmath.js) и для языка PHP, причём библиотека BCMmath встроена в PHP, начиная с версии 4.0.4. Библиотека BigNumber написана на языке C++, но существует её версия для языка JavaScript (bignumber.js). Были опробованы все три библиотеки. Версия BCMath для JavaScript [7] продемонстрировала наличие досадных логических ошибок в программном коде функции деления bcdiv(), хотя аналогичная версия для PHP 5.0 выполняла все расчёты безошибочно. В качестве образцовой библиотеки произвольной точности было решено остановиться на библиотеке BigNumber для JavaScript [8]. Библиотека не лишена недостатков, но с основными арифметическими операциями справляется успешно.

К сожалению не все библиотеки произвольной точности предусматривают расчёты тригонометрических, гиперболических и логарифмических функций. В разработанной программе на языке JavaScript реализации тригонометрических, гиперболических функций и функций для расчёта натуральных и десятичных логарифмов основаны на вычислении соответствующих рядов Маклорена.

Представление переменных в виде строковых величин в значительной степени влияет на продолжительность времени расчёта. Если расчёт фильтра 20−го порядка при количестве знаков в строковой переменной m=35 занимает до 120 секунд, то с увеличением порядка фильтра продолжительность расчёта возрастает практически в геометрической прогрессии и для фильтра с n=60 и m=120 составляет до 10 минут. С точки зрения благоразумной достаточности экспериментальным путём было установлено, что для получения n/2 достоверных знаков после десятичной запятой для gn необходимо увеличить число знаков всех переменных BigNumber до значения 2n.

Заключение

Осталось показать каким должен быть упоминавшийся ранее в самом начале статьи трансформирующий фильтр 10-го порядка из [1] для r = Rс/Rн = 50, рассчитанный на нормированную полосу W = 0,3. На рис. 6 и рис. 7 представлены схема и АЧХ синтезированного фильтра, какими они выглядят в программе Filter Solutions 8.0 [9].

Рис. 6 - Так выглядит синтезированный трансформирующий ФНЧ с нормированными параметрами для n=10; r = Rс/Rн = 50; W = 0,3 в программе Filter Solutions

Рис. 7 - АЧХ синтезированного фильтра, построенная в программе Filter Solutions

Сравните с рис.2 и рис.3. Комментарии, как говорится, излишни!

Список литературы

1. Matthaei G.L. Tables of Chebyshev Impedance Transforming Networks of Low−Pass Filter Form // Proceedings of the IEEE. Vol. 52. Issue 8. Aug. 1964. P. 939 – 963.

2. Яковенко В.А. Аналитический расчёт согласующих цепей лестничной структуры. − [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://docplayer.ru/42908967−Analiticheskiy−raschet−soglasuyushchih−cepey−lestnichnoy−struktury.html

3. Zhu Y.S., Chen W.K. Low−pass impedance transformation networks // IEE Proc.−G Circuits Devices Syst. Vol. 144. No. 5. Oct. 1997. P. 284−288.

4. Zhu Y.S., Chen W.K. Computer Aided Design Of Communication Networks. − World Scientific Pub Co Inc. – 2000. – 628 p.

5. Змий Б.Ф., Ананьев А.В. Синтез пассивных LC−фильтров высших порядков с повышением уровня напряжения // Телекоммуникации. − 2016. − № 11. − С. 2−9.

6. Богачев В.М. Синтез цепей связи для широкополосных усилителей. Под ред. С.М. Смольского. – М.: МЭИ, 1980, 100 с.

7. BCMath Library for JavaScript. − [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://sourceforge.net/projects/bcmath−js/

8. A JavaScript library for arbitrary−precision decimal and non−decimal arithmetic. − [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://github.com/MikeMcl/bignumber.js/

9. Passive (Lumped Element) Filter Module [Elektronnyiy resurs]. – URL: http://www.nuhertz.com/software/software−modules/passive−lumped−element−filter (access date: 24.04.2018).

Сведения об авторе:

Курочкин А.Е., к.т.н.,
доцент кафедры информационных радиотехнологий
Белорусского государственного университета
информатики и радиоэлектроники.
e−mail: kurochkin@bsuir.by
БГУИР, 220013, Республика Беларусь,
г. Минск, ул. П. Бровки, д. 6

Java Script

Представленный ниже интерактивный скрипт посвящён исследованию характеристик согласующего трансформирующего фильтра на основе квазиполосового ФНЧ. При перемещении курсора в области графиков автоматически снимаются показания для текущей частоты и измеряемых параметров. Показания отображаются в полях "Измерение коэффициента передачи", "Измерение коэффициента отражения" и "Измерение импеданса".

Порядок работы со скриптом

1. Ввести исходные данные: коэффициент трансформации r и нормированную полосу w.

2. Выбрать вариант нормирования частот: относительно частоты Fср или относительно Fo.

3. Выбрать вариант расчёта: для заданной неравномерности затухания в рабочей полосе α (порядок будет рассчитан) или для заданного порядка фильтра n (будет рассчитан коэффициент неравномерности).

4. Установить значения граничных круговых частот ωmin и ωmax для построения графиков.

5. При необходимости включить опцию логарифмического масштаба на графиках.

6. Нажать кнопку «Расчёт АЧХ».

7. Будет произведен расчёт: граничных круговых частот полосы ωa и ωb, центральной частоты ωo, коэффициента неравномерности ε и затухания в рабочей полосе.

8. Будет построен график частотной зависимости коэффициента передачи мощности, на котором можно произвести измерение коэффициента передачи Kp с указанием текущей круговой частоты ω.

9. Для дальнейшей работы следует нажать кнопку «Расчёт Г».

10. Будет построен график частотной зависимости коэффициента отражения, на котором можно произвести измерение коэффициента отражения Гвых с указанием текущей круговой частоты ω.

11. Для дальнейшей работы следует нажать кнопку «Расчёт параметров».

12. Результат расчёта будет отображён в виде таблицы «Нормированные параметры лестничной цепи».

13. Для продолжения работы следует ввести денормирующие параметры: реальное сопротивление нагрузки Rн, реальную линейную граничную (нормирующую) частоту Fнорм=Fгр, единицу измерения частоты, единицу измерения индуктивности и единицу измерения ёмкости.

14. Нажать кнопку «Денормировать и рассчитать параметры фильтра».

15. Будет произведен расчёт линейных граничных частот реальной рабочей полосы Fa и Fb.

16. Результат расчёта будет отображён в виде таблицы «Денормированные параметры лестничной цепи». В таблице отображаются реальные денормированные значения индуктивностей катушек Ln и ёмкостей конденсаторов Cn.

17. В завершение будет построен график частотной зависимости для модуля полного импеданса |Zвых|, его действительной ReZвых и мнимой составляющей ImZвых.

Ввод исходных данных:
Коэффициент трансформации r=Rc/Rн | Нормированная полоса w=(Fb-Fa)/Fср
Затухание в рабочей полосе α [дБ] ≤ | Порядок функции n=
Fгр=FсрНормировать относительноFгр=Fo
Для заданного значения затухания в полосе или порядка фильтра
0% выполнения!
Результаты расчёта (частоты нормированные):
ωa= | ωb=
Центральная частота ωo= | Неравномерность ε=
Затухание в рабочей полосе 10lg(1+ε²)[дБ]=
Настройка отображения графика:
ωmin= | ωmax=
Логарифмический масштаб

График частотной зависимости коэффициента передачи мощности:

Измерение коэффициента передачи:

Текущая частота ω, Kp:

График частотной зависимости коэффициента отражения:

Измерение коэффициента отражения:

Текущая частота ω, Гвх:

0% выполнения!

Расчёт нормированных параметров фильтра:

Нормированные параметры лестничной цепи

gi
Значение параметра:

Расчёт денормированных параметров фильтра:

Ввод денормирующих параметров:

Реальное сопротивление нагрузки Rн[Ом]=

Реальная граничная частота Fгр
Единица измерения частоты

кГц

МГц

ГГц

Единица измерения индуктивности

мГн

мкГн

нГн

Единица измерения ёмкости

мкФ

нФ

пФ

0% выполнения!

Fa=
Fb=

Денормированные параметры лестничной цепи

L
Катушки индуктивности
C
Конденсаторы

График частотной зависимости импеданса:

Измерение импеданса:

Текущая частота ω, |Zвых| и ReZвых, ImZвых:

Розовая линия - график частотной зависимости модуля импеданса |Z|. Зелёная линия - график частотной зависимости действительной составляющей импеданса. Оранжевая линия - график частотной зависимости мнимой составляющей импеданса ImZ. Диапазон значений и масштаб для модуля |Z| и составляющей ReZ соответствует левой числовой шкале. Диапазон значений и масштаб для мнимой составляющей ImZ соответствует правой числовой шкале.