Обобщение гипотезы Малера в поле комплексных чисел. Оценки снизу

Abstract

Частные случаи задачи о мере множества решений неравенств |P(x)| < H-υ, υ > 0, решены как в поле действительных, так и в поле комплексных чисел рядом крупных математиков в середине прошлого века. В. Г. Спринджук доказал, что почти для всех (в смысле меры Лебега μ 2 на комплексной плоскости) z ∈ ℂ верно неравенство |P(z)| > H-(n-1)/2-ε .Целью работы является получение более точной оценки снизу для множества решений данного неравенства при υ > (n-1)/2. Оценка сверху может быть получена с использованием леммы Берника, обобщающей лемму А. О. Гельфонда из теории трансцендентных чисел. Лемма Берника доказывается с использованием результантов для многочленов без общих корней. Во введении описаны результаты, полученные при доказательстве гипотезы Малера, дан обзор литературных источников, относящихся к тематике исследования, указан объект исследования - классмногочленов P(z) комплексной переменной высоты H(P) ≤ Q. В основной части доказана теорема, в которой получена оценка снизу меры множества решений неравенства |P(z)| > H-(n-1)/2-ε в комплексном случае. Для доказательства теоремы применен метод существенных и несущественных областей Спринджука. Результат работы может быть использован при исследовании систем диофантовых неравенств, которые, как известно, возникают при разрешимости проблемы малых знаменателей в уравнениях математической физики, а также при проектировании антенных устройств.