Skip navigation
Please use this identifier to cite or link to this item: https://libeldoc.bsuir.by/handle/123456789/46556
Title: Обобщение гипотезы Малера в поле комплексных чисел. Оценки снизу
Authors: Ламчановская, М. В.
Калугина, М. А.
О`Доннелл, Н.
Keywords: публикации ученых
метрическая теория диофантовых приближений
алгебраические числа
поле комплексных чисел
Issue Date: 2021
Publisher: Гродненский государственный университет имени Янки Купалы, РБ
Citation: Ламчановская, М. В. Обобщение гипотезы Малера в поле комплексных чисел. Оценки снизу / М. В. Ламчановская, М. А. Калугина, Н. О`Доннелл // Веснiк Гродненскага дзяржаўнага унiверсiтэту iмя Янкi Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. – 2021. – Т. 11, № 1. – С. 6–12.
Abstract: Частные случаи задачи о мере множества решений неравенств |P(x)| < H-υ, υ > 0, решены как в поле действительных, так и в поле комплексных чисел рядом крупных математиков в середине прошлого века. В. Г. Спринджук доказал, что почти для всех (в смысле меры Лебега μ 2 на комплексной плоскости) z ∈ ℂ верно неравенство |P(z)| > H-(n-1)/2-ε .Целью работы является получение более точной оценки снизу для множества решений данного неравенства при υ > (n-1)/2. Оценка сверху может быть получена с использованием леммы Берника, обобщающей лемму А. О. Гельфонда из теории трансцендентных чисел. Лемма Берника доказывается с использованием результантов для многочленов без общих корней. Во введении описаны результаты, полученные при доказательстве гипотезы Малера, дан обзор литературных источников, относящихся к тематике исследования, указан объект исследования - классмногочленов P(z) комплексной переменной высоты H(P) ≤ Q. В основной части доказана теорема, в которой получена оценка снизу меры множества решений неравенства |P(z)| > H-(n-1)/2-ε в комплексном случае. Для доказательства теоремы применен метод существенных и несущественных областей Спринджука. Результат работы может быть использован при исследовании систем диофантовых неравенств, которые, как известно, возникают при разрешимости проблемы малых знаменателей в уравнениях математической физики, а также при проектировании антенных устройств. Particular cases of the problem of the measure of the set of solutions |P(x)| < H-υ, υ > 0 to inequalities were solved both in the field of real and in the field of complex numbers by a number of prominent mathematicians in the middle of the last century. V. G. Sprindžuk proved that for almost all (in the sense of the Lebesgue measure μ 2 on the complex plane) z ∈ ℂ the inequality |P(z)| > H-(n-1)/2-ε is true. The purpose of research is obtain a more precise lower bound for the set of solutions of inequality for υ > (n-1)/2. An upper bound can be obtained using Bernik’s lemma, which generalizes A. O. Gelfond from the theory of transcendental numbers. Bernik’s lemma is proved using the resultants for polynomials without common roots. The introduction describes the results obtained in the proof of Mahler’s hypothesis, gives an overview of literary sources related to the research topic, indicates the object of research - the class of polynomials P(z) of complex variable height H(P) ≤ Q. In the main part, the theorem is proved in which alower bound for the measure of the set of solutions to inequality |P(z)| > H-(n-1)/2-εin the complex case is obtained. To prove the theorem, we use the method of essential and inessential areas of Sprindžuk. The result of the work can be used in the study of systems of Diophantine inequalities, which, as you know, arise when the problem of small denominators in the equations of mathematical physics is solvable, as well as when designing antenna devices.
URI: https://libeldoc.bsuir.by/handle/123456789/46556
Appears in Collections:Публикации в изданиях Республики Беларусь

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Lamchanovskaya_Obobshcheniye.pdf128,95 kBAdobe PDFView/Open
Show full item record


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.