Математическое моделирование распространения эпидемий (SIR-модель)

Abstract

В работе рассматривается классическая SIR-модель Кермака–Маккендрика, описывающая распространение инфекционного заболевания в замкнутой популяции. Приводится постановка модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, анализируются её основные качественные свойства: закон сохранения численности популяции, монотонность решений, затухание эпидемии, пороговое условие начала вспышки и существование пика числа инфицированных. Также рассматривается первый интеграл системы и выводится условие достижения максимума функции инфицированных. Для конкретных параметров проводится численное моделирование методом Эйлера, результаты которого сопоставляются с аналитическими оценками. Показано, что SIR-модель, несмотря на простоту, адекватно отражает ключевые закономерности эпидемического процесса и служит основой для более сложных моделей математической эпидемиологии.